EN ورود به کارتابل افراد ثبت نام افراد ورود نهادهای ترویجی
3280
filereader.php?p1=main_faef7f08f68ea551b

موضوع: شبیه‌سازی

فصل: روش‌های عددی


جلسه اول: مقدمه‌ای بر روش‌های عددی


بخش اول: مقدمه‌ای بر روش‌های عددی


نویسنده: سجاد حمره



مقدمه:

محاسبات عددی یا آنالیز عددی (Numerical analysis) به تنظیم، مطالعه و اعمال شیوه‌های تقریبی محاسباتی برای حل آن دسته از مسائل ریاضیات پیوسته (در مقابل ریاضیات گسسته) می‌پردازد که با روش‌های تحلیلی و دقیق قابل حل نیستند. برخی از مسائل مورد نظر محاسبات عددی به طور مستقیم از حسابان می‌آید. جبر خطی عددی و نیز حل معادلات دیفرانسیل خطی و غیر خطی مربوط به فیزیک و مهندسی از جمله زمینه‌های دیگر برای کاربرد محاسبات عددی‌ است.

1- تاریخچه

از آثار مکتوب به‌جامانده چنین برمی‌آید که گویا نخستین رساله در حساب به معنی امروزی را محمد بن موسی الخوارزمی نوشته است. آوازه وی چنان در اروپا پیچید که واژه الگوریتم را (که از الخوارزمی گرفته شده است) بر روش‌های حل مساله در محاسبات عددی نهادند.
با پیشرفت رایانه‌ها نیاز به حل مسایل ریاضی به روش عددی بیش از پیش احساس شد. در این هنگام کارایی روش‌هایی که از قبل توسط نیوتون و اولر ارایه شده بود نمایان شد. ریاضی‌کارها و دانش‌گرهای دیگر نیز در این راه پا گذاشتند و روش‌هایی کاراتر ارایه دادند. به این ترتیب محاسبات عددی شکل نوین خود را یافت.

2- معرفی

تعدادی از مسائل ریاضیات پیوسته دقیقا با یک الگوریتم حل می‌شوند که به روش‌های مستقیم حل مسئله معروف‌اند. برای مثال، روش حذف گوسی برای حل دستگاه معادلات خطی، و نیز روش سیمپلکس مورد استفاده در برنامه‌ریزی خطی را می‌توان ذکر نمود. در مقابل، برای بسیاری از مسائل روش حل مستقیم وجود ندارد و باید از روش‌های دیگری مانند روش تکرار شونده استفاده شود.

3- برآورد خطاها

تخمین خطاهای موجود در حل مسائل از مهم‌ترین قسمت‌های محاسبات عددی است این خطاها در روش‌های تکرار شونده وجود دارد، چون به هر حال جواب‌های تقریبی به‌ دست آمده با جواب دقیق مسئله، اختلاف دارد و یا وقتیکه از روش‌های مستقیم برای حل مسئله استفاده می‌شود خطاهایی ناشی از گرد کردن اعداد به‌وجود می‌آید. در محاسبات عددی می‌توان مقدار خطا را در آخر روشی که برای حل مسئله به کار می‌رود، تخمین زد.

4- کاربردها

الگوریتم‌های مربوط به محاسبات عددی در حل بسیاری از مسائل موجود در علوم و مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرد. به عنوان مثال:
1. تحلیل و طراحی سازه‌هایی همچون پل‌ها، سدها، و هواپیماها
2. هواشناسی مثلا پیش‌بینی آب و هوا، و تهیه نقشه‌های جوی از زمین
3. تجزیه و تحلیل ساختار مولکول‌ها
4. پیدا کردن مخازن

همچنین اکثر ابررایانه‌ها به طور مداوم بر اساس الگوریتم‌های محاسبات عددی برنامه‌ریزی می‌شوند. به طور کلی محاسبات عددی از نتایج عملی حاصل از اجرای محاسبات برای پیدا کردن روش‌های جدید برای تجزیه و تحلیل مسائل استفاده می‌کند.
در شبیه‌سازی در ابعاد نانو، محاسبات عددی اهمیت ویژه‌ای دارد. در ابعاد نانو، مواد خواص کوانتومی از خود نشان می‌دهند که در اکثر موارد در عمل قابل اندازه‌گیری نیستند. به همین منظور باید سیستم‌های مورد نظر را از نظر ریاضی به صورت مدل درآورد و معادلات مربوطه را برای آنها حل کرد. از آنجایی که حل دقیق معادلات در اکثر موارد ممکن نیست باید از حل عددی به جای حل تحلیلی یا دقیق برای حل معادلات استفاده کرد.

5- نرم‌افزارها

امروزه بیشتر الگوریتم‌ها توسط رایانه اجرا می‌شوند نرم‌افزارهایی برای اجرای محاسبات ریاضی طراحی شده‌اند. از مهم‌ترین و کاربردی‌ترین آنها می‌توان به نرم‌افزارهایی زیر اشاره کرد:
متلب (MATLAB)
میپل (Maple)
متمتیکا (Mathematica)
گنو اکتاو (GNU Octave)
و ...
در بخش‌های بعدی این فصل با انواع روش‌های حل عددی معادلات دیفرانسیل، درونیابی و انتگرال‌گیری عددی آشنا خواهیم شد.




filereader.php?p1=main_bcd1b68617759b1df filereader.php?p1=main_fbaedde498cdead4f



منابع


  • محاسبات عددی، بهمن مهری، چاپ چهارم، تهران، انتشارات آییژ