EN ورود به کارتابل افراد ثبت نام افراد ورود نهادهای ترویجی
3320
filereader.php?p1=main_faef7f08f68ea551b

موضوع: شبیه‌سازی

فصل: روش مونت‌ کارلو


بخش اول: مقدمه‌ای بر روش مونت‌ کارلو
بخش دوم: کاربردهای روش مونت‌کارلو


بخش اول: مقدمه‌ای بر روش مونت‌ کارلو


نویسنده: سجاد حمره



مقدمه:

روش مونت-کارلو (به انگلیسی: Monte Carlo method) یک الگوریتم محاسباتی است که از نمونه‌گیری تصادفی برای محاسبه نتایج استفاده می‌کند. روش‌های مونت-کارلو معمولاً برای شبیه‌سازی سیستم‌های فیزیکی، ریاضیاتی و اقتصادی استفاده می‌شوند.
از طرف دیگر روش مونت کارلو یک طبقه از الگوریتم‌های محاسبهگر هستند که برای محاسبه نتایج خود بر نمونه گیری‌های تکرار شونده تصادفی اتکاء می‌کنند. روش‌های مونت کارلو اغلب زمان انجام شبیه‌سازی یک سامانه ریاضیاتی یا فیزیکی استفاده می‌شوند. به دلیل اتکای آنها بر محاسبات تکراری و اعداد تصادفی یا تصادفی کاذب، روش‌های مونت کارلو اغلب به گونه‌ای تنظیم می‌شوند که توسط رایانه اجرا شوند. گرایش به استفاده از روش‌های مونت کارلو زمانی بیش‌تر می‌شود که محاسبه پاسخ دقیق با کمک الگوریتم‌های قطعی ناممکن یا ناموجه باشد. روش‌های شبیه‌سازی مونت کارلو مخصوصاً در مطالعه سیستم‌هایی که در آن تعداد زیادی متغیر با درجه آزادی‌های دو به دو مرتبط وجود دارد مفید است، از جمله این سیستم‌ها می‌توان به سیالات، جامداتی که به شدت کوپل شده‌اند، مواد بی‌نظم و ساختارهای سلولی اشاره نمود. از آن گذشته، روش‌های مونت کارلو برای شبیه‌سازی پدیده‌هایی که عدم قطعیت زیادی در ورودی‌های آنها وجود دارد نیز مفید هستند، مثلاً محاسبه ریسک در تجارت. همچنین این روش‌ها به طور گسترده‌ای در ریاضیات مورد استفاده قرار می‌گیرند: یک نمونه استفاده سنتی کاربرد این روش‌ها در برآورد انتگرال‌های معین است، به خصوص انتگرال‌های چند بعدی با محدوده‌های مرزی پیچیده. واژه مونت کارلو در دهه ۱۹۴۰ (دهه ۱۳۱۰ شمسی) به وسیله فیزیکدانانی که روی پروژه ساخت یک سلاح اتمی در آزمایشگاه ملی لوس آلاموس آمریکا کار می‌کردند، رایج شده ‌است.

1- تاریخچه

ریشه نام «مونت‌ کارلو» از زبان ایتالیایی است و به اصلیت اسم شاهزاده کارلو سوم از موناکو بر می‌گردد که زیر نفوذ و حمایت دربار ایتالیا قرار داشت. تا قبل از سال ۱۸۶۱ که موناکو به شکلی خودمختار درآمد، زبان رسمی ایتالیایی بود، اما در یکصد سال گذشته، زبان رسمی به فرانسوی تغییر داده شد. مونت‌ کارلو (در فرانسوی: Monte-Carlo) نام منطقه‌ای است بسیار مشهور در کشور خودمختار موناکو واقع در اروپای غربی. جمعیت ساکن در مونت‌ کارلو در حدود ۳۰۰۰ نفر را شامل می‌شود. منطقه مونت‌ کارلو، ثروتمندترین منطقه از کشور خودمختار موناکو است. نام روش مونت کارلو توسط تحقیقات فیزیکدانانی چون استنی‌سواف اولام، انریکو فرمی و جان فون نیومن شهرت فراوان یافت. این اسم مبدأیی به یک کازینو در موناکو است که عموی اولام برای قمار پول قرض می‌کرده‌ است. تصادفی بودن و تکرار طبیعی فرآیندها مشابه فعالیت‌های این کازینوها است.

2- کاربرد

روش‌های تصادفی برای محاسبه و آزمایش (که عموماً به عنوان شبیه‌سازی تصادفی شناخته می‌شوند) را بدون تردید می‌توان تا اولین پیشگامان نظریه احتمال دنبال کرد (سوزن بافون، کار جزیی روی نمونه‌ها توسط ویلیام گوست)، ولی به طور ویژه می‌توان آن را در دوران قبل از محاسبات الکترونیکی دنبال کرد. تفاوت اساسی که معمولاً درباره روش شبیه‌سازی مونت کارلو بیان می‌شود این است که به طور اصولی نوع روش شبیه‌سازی را وارون می‌کند و نظر مسایل را با یافتن مدل مشابه احتمالی به خود جلب می‌کند. روش‌های پیشین برای شبیه‌سازی و مدلسازی آماری عموماً عکس این کار را انجام می‌دادند: استفاده از شبیه‌سازی برای امتحان کردن مسایل مشخص قطعی.
به هر حال همان‌طور که می‌دانیم مثال‌های دیدگاه «وارون» به صورت تاریخی نیز وجود دارند، آنها تا قبل از آمدن روش مونت کارلو به عنوان یک روش عمومی در نظر گرفته نمی‌شدند.
شاید معروف‌ترین استفاده اخیر از این روش توسط انریکو فرمی در سال۱۹۳۰ باشد، هنگامیکه او از یک روش تصادفی برای دستیابی به خواص نوترون تازه کشف شده، استفاده کرد. همچنین روش‌های مونت کارلو مرکزیت شبیه‌سازی مورد نیاز در پروژه منهتن را داشتند اگرچه که در آن زمان در استفاده از ابزارهای محاسباتی در محدودیت جدی قرار داشتند؛ بنابراین مونت کارلو در زمانی مورد مطالعه و بررسی توسط دانشمندان قرار گرفت که رایانه‌های الکترونیکی برای اولین بار پا به عرصه گذاشتند. (از سال ۱۹۴۵ تا امروز)
در ۱۹۵۰ در لوس آلاموس برای تحقیقات جدیدی که درباره بمب‌های هیدروژنی آغاز شده بود مورد استفاده قرار گرفت و در رشته‌های فیزیک و شیمی فیزیک و تحقیق در عملیات مشهور شد.
شرکت رند(Rand) و نیروی هوایی ایالات متحده دو سازمان مرتبط برای جمع‌آوری و ارسال اطلاعات درباره روش‌های مونت کارلو در طول این زمان بوده ‌است، و کاربردهای گسترده این روش را یافته‌اند.
استفاده از روش مونت کارلو نیاز به استفاده مقادیر زیادی اعداد تصادفی دارد و این استفاده باعث کنار رفتن و عدم گسترش زاینده‌های اعداد شبه تصادفی بود. روش مونت کارلو را می‌توان برای بسیاری از محاسبات مهندسی، مخصوصاً در بخش برق و تخمین‌های آن استفاده نمود.

3- نگاه کلی

تنها یک روش مونت کارلو وجود ندارد، بلکه این واژه به گستره وسیعی از روش‌هایی که بسیار به کار گرفته می‌شوند، اطلاق می‌گردد. به هر حال، این رویکردها یک الگوی مشخصی را پیروی می‌کنند:
محدوده‌ای از ورودی‌های ممکن را تعریف می‌کنند.
از آن محدوده ورودی‌های تصادفی را تولید می‌کنند.
با استفاده از ورودی‌های بدست آمده یک سری محاسبات مشخص را انجام می‌دهند.
نتایج هر یک از اجراهای محاسباتی را در پاسخ نهایی ادغام می‌کنند.

4- مثال روش مونت کارلو برای تخمین عدد پی

برای مثال می‌توان مقدار عدد π (پی) را با استفاده از روش مونته کارلو محاسبه نمود.
یک مربع روی صفحه ترسیم کنید، سپس یک دایره را درون آن محاط کنید. در ادامه چندین شکل با اندازه یکسان را روی آن به طور یکنواخت پخش کنید (برای مثال، دانه‌های شن یا برنج) در سرتاسر مربع.
سپس تعداد اشیاء درون دایره را بشمارید، در چهار ضرب کنید و عدد به دست آمده را بر تعداد کل اشیاء درون مربع تقسیم نمایید.
نسبت اشیاء درون دایره در مقابل اشیاء درون مربع تقریباً برابر خواهد بود با ۴/π، که همان نسبت سطح دایره ‌است به سطح مربع؛ بنابراین شما تخمینی از عدد π را به دست آورده‌اید. توجه داشته باشید که چگونه تخمین عدد π از یک الگوی مشخص شده در روش مونته کارلو پیروی می‌کند.
ابتدا ما یک محدوده از متغیرها را تعریف کردیم که یک مربع بود که دایره ما را محاط کرده بود. سپس ورودی‌ها را به طور تصادفی تولید کردیم (پخش دانه‌ها به طور یکنواخت درون مربع)، سپس محاسبات را برای هر ورودی انجام دادیم (بررسی کردیم که آیا دانه درون دایره هست یا نه). در آخر، تمام جواب‌ها را در جواب نهایی ادغام نمودیم. همچنین به این نکته توجه داشته باشید که دو ویژگی مشترک دیگر روش‌های مونت کارلو این است:
اتکای محاسبات بر اعداد تصادفی خوب
همگرایی تدریجی به سمت تخمین‌های بهتر در زمانی که داده‌های بیشتری شبیه‌سازی می‌شوند.



filereader.php?p1=main_bcd1b68617759b1df filereader.php?p1=main_fbaedde498cdead4f



منابع


  •  شبیه‌سازی‌های رایانه‌ای، سیف الله جلیلی